9.2、ARIMA模型—零基础入门教程

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ARIMA模型是一种常用的时间序列分析模型，用于对具有自回归（AR）和移动平均（MA）特性的数据进行建模和预测。ARIMA模型由三个部分组成：自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。AR部分表示当前值与过去值的线性关系，MA部分表示当前值与随机误差的线性关系，差分部分表示对数据进行差分以使其平稳。ARIMA模型可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定模型的阶数。通过拟合ARIMA模型，可以对时间序列数据进行预测和分析，揭示数据的趋势和周期性变化，帮助做出合理的决策。

ARIMA模型的估计

ARIMA(p,d,q)模型，其中p与q表示AR和MA部分的阶数，而d表示序列的单整阶数。

ARIMA(p,d,q)模型包含3种情况，AR(p)模型，MA(q)模型或是ARMA(p,q),如果原序列是单整的非平稳数据，则对差分平稳后的数据建立以上3种模型。

1.ARIMA(p,d,q)模型的表达形式

第一种，AR(p)模型对应的代数表达式为：

Y₁=c+a₁Y-+Q₂Y₁-2+…+α,Y'-p+E;

第二种，MA(q)模型对应的代数表达式为：

y₁=c+E+θE-₁+θ₂E-2+…+θ₀E;

第三种，ARMA(p,q)模型对应的代数表达式为：

Y₁=c+QY₁-₁+Q₂Y-2+…+Q,Y-p+E₁+θE-₁+θ₁E;-2+…+θ₇E-

2.ARIMA(p,d,q)模型的识别

ARIMA(p,d,q)模型的识别就是指具体的三个参数的确定。

(1)d参数的识别

对于ARIMA(p,d,q)模型的d系数的识别是最简单的，对分析的原序列进行单位根检验， 如果是有单位根的，则对其差分后的序列进行判断，如果d阶差分后序列为平稳的，则称序列为d阶单整序列，对这个差分后序列建立ARMA模型即可。如果d阶差分无平稳序列或虽已经平稳但对差分后的序列研究已经没意义，就不用再建立ARMA模型了。

(2)q的识别

一般可以借助自相关函数ACF图和偏自相关函数PACF图对p和q进行初步的判断。时间序列y, 与yry的ACF定义为：

一般把不同的j 对应的p, 值绘制成图称为自相关图。以MA(1)过程为例：y,=c+ε,+θEr

基于自相关函数ACF的定义可以推导： P,=0,j>1

可以证明，MA(q)过程ACF值在q期后为零。

(3)p的识别

以AR(1)过程为例：y,=c+αy-+ε;y,=c+ca+a²y-₂+αE-₁+E;

由上可见，y,与 yrz 之间通过y₁是相关的。而部分自相关函数PACF是指y,与yrk之间剔除了这两期之间由y-yr₂…yr-k+1而形成的线性关系后存在的相关性。可见一个AR(1)过程的PACF值在滞后一期后将变为零。可以证明，AR(p)过程PACF值在滞后p期后变为零。

(4)p和q识别总结

AR(p)模型，其PACF应该在p期滞后之后突然降为零，而对于MA(q)模型因为其可以转化为AR(～)形式，所以对应的PACF应该呈现逐渐衰减向零趋近的态势。MA(q)模型，其ACF应该在q期之后陡然变为零；而对于AR(p)模型，因为其可以转化为MA(~) 形式，所以其ACF应该呈现逐渐衰减向零趋近的态势。由于ARMA(p,q)可以转化为AR(~)或MA(~),

所以其对应的特征为两种函数均表现为逐渐衰减的态势。若称陡然降为零为“截尾”,逐渐衰 减为“拖尾”,则可以总结AR(p)和MA(q)的识别方法。

但实际操作中，用的都是样本对应的ACF和PACF图来判断，而不是理论上的。

(5)最优模型确定的其他准则

上面的判断方法全部是基于图形的初步判断，实际操作中还要其他辅助的准则进一步进行判断。第一，通过试设模型后进行比较，选择SIC和AIC值最小的，调整R²最大的模型，这种方法在ARMA(p,q)模型时最重要。第二，如果上述方法无法得到统一的结果，就依“简约原则”进行选择，即选择模型设立单一、滞后期较小的模型。第三，对于AR(p)模型可以进行稳健性检验，排除残差具有序列相关性的模型。

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