5.1、线性回归OLS估计—零基础入门教程

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线性回归OLS估计是一种常用的统计方法，用于建立和估计线性关系模型。它的主要目的是通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，来估计线性回归模型中的参数。OLS估计假设模型的误差项服从正态分布，并且具有恒定的方差。通过OLS估计，我们可以得到回归系数的估计值，从而了解自变量对因变量的影响程度和方向。此外，OLS估计还可以提供模型的拟合优度和显著性检验等统计指标，用于评估模型的质量和可靠性。OLS估计是一种简单而有效的方法，广泛应用于经济学、社会科学和自然科学等领域的数据分析和预测中。

线性回归模型的OLS估计

当采用模型E(Y)=μ(X)+e,X(x;x₂,…x,)研究变量X与Y的关系时；如果μ是个线性函 数，则要进行的回归分析就是线性回归分析，其中：Y为因变量(dependent variable),X是自变量(independent variable);e为随机误差。

背景知识

线性回归模型最基础的是一元线性回归模型，然后再通过增加自变量的个数可以将一元

线性回归模型扩展到多元线性回归模型。

1.一元线性回归模型

在实际应用中，最简单的情形就是研究两个变量之间的相关关系，即一元线性回归模型

(1)一元线性回归模型及假定

假设(X₁Y₁)(Xz,Y₂)…(XY₇)是取自总体(X,Y)的一组样本，其中Xi,Xz,…X,为自变量或解释变量(independent variable)序列，yi,Y₂…,Y为因变量或被解释变量。于是，就可以建立一元线性回归模型：9,=B+R元+e,1.2,n。其中，该模和的随机误差项必须满足的假设条件为：

●无偏性假定。即所有随机误差项的期望为0。

●同方差性假定。即所有随机误差项的方差相等。

●无序列相关性假定。即随机误差项之间无序列相关性。

●解释变量与随机误差性相互独立。即解释变量X为非随机变量。

●正态性假定。即随机误差项服从均值为0的正态分布。

(2)一元线性回归模型的最小二乘估计

样本观测值Y;与估计值的残差e反映了样本观测值与回归直线之间的偏离程度。而最小乘法的原理就是让拟合的直线使残差平方和达到最水，依此为准则确定X与¥之间的线性关系。这就是著名的普通最小二乘法(Ordinary_Least Square,OLS)

用公式表达为：

根据微积分学多元函数极值原理，要使上式达到最 ,对β,β的一阶偏导数应等于零。求解得到

2. 多元线性回归模型

在许多实际问题中，会研究一个因变量和多个自变量之间的关系，例如一个国家的国民经济总量不仅与投资有关，而且与消费和进出口都有关。此时最为常用的就是多元线性回归模型，在回归估计的原理上与一元线性回归模型非常相似。

(1)多元线性回归模型的形式。假定影响因变量Y的自变量个数为P, 并且记为Xj, X₂,…,X,多元线性回归模型为：Y=β+βx+β,x₂+…+β,x,+e为了回归表示的简便性，令：

则多元线性回归模型的矩阵形式为Y=Xβ+ε

(2)多元线性回归模型的最小二乘回归与一元线性回归模型一致，就是满足下式：

minQ(D=Ze²=ZC,-Bx²根据多元做积分的极值原理，对9求偏导并令其为零，

可以解得β=(X¹x)¹x¹y。

线性模型的估计和违背假设的处理是一个非常完整的体系。除了经典的最小二乘法外，对于线性回归模型的估计，一般会根据具体假设条件和具体模型中变量的不同，有不同的建模和估计方法，如出现内生变量时会用到二阶段最小二乘法或GMM方法，针对时间序列的ARMA模型等等。对于线性模型违背古典假设后的纠正方法(如针对异方差的加权最小二乘法)、三阶段最示二乘法和GMM方法、时间序列的ARMA建模等。

线性回归模型0LS

打开相应的数据文件或者建立一个数据文件后，在相应的workfile工作文件窗口就可以进行线性回归模型OLS估计的EViews操作。

1.回归模型主窗口的打开

在EViews主窗口的菜单栏中依次选择Quick|Estimate Equation命令，打开如图所示的Equation Estimation对话框。

Equation Estimation(方程回归)对话框的Specification选项卡是建立各种回归模型(如线性回归模型、ARMA模型、计数模型等)的主要设定窗口。

除上述方法可以打开Equation Estimation对话框外，还可以在主窗口的菜单栏中选择Quick|Estimate Equation;

第三种是在工作文件窗口中选择Object|New Object,然后在新建对话框中选择Equation。

2. 设定模型中的变量

住何模型估计前，先要设定模型中解释变量和被解释变量。线性模型中变量的设定是在 Equation specification 输入框中进行的，而具体的设定方法有以下几种。

(1)公式设定方法

该方法是指在输入框中直接将模型方程写出来，例如要回归的模型为GDP=α+βIFA+E:

(其中GDP和IFA分别表示两个变量名),则如图所示在Equation specification输入框中写入：gdp-c(1)+c(2)ifa且不需要设定随机项 。

(2)排序设定方法

模型变量设定中最常用的是排序方法，即按照被解释变量、回归因子(含常数项和解释变量)的顺序依次列出来，该方法又可分为如下三类。

●当模型中的变量都是工作文件中的已有变量时，可以在Equation specification输入框中按照模型的被解释变量、解释变量的顺序依次列出，中间用空格隔开所有的变量，且不需要设定模型的随机项。同样假设如果我们要回归模型GDP=α+βIFA+E则如图所示在Equation specification输入框中写入：gdpc ifa。

注意当研究者需要设定常数项时，常数项务必设定为 c,   因为每一个工作文件中EViews都会设定一个常数项对象c另外，Equation specification输入框设定不区分字母的大小写。

●当模型中的变量含有工作文件窗口中变量的滞后项时，可以在Equation specification输入框中输入该变量和圆括号的组合来表示变量的滞后项，其中圆括号中是负号和具体滞后的阶数。例如要回归的模型为GDP=α+βIFA(-1)+GD P(-2)+e,模型回归项中含有因变量的2阶滞后项和解释变量的1阶滞后项，可以设定为gdp c ifa(-H) gdp(-2), 如图所示。

●当模型中包含工作文件中变量的线性组合或者固定的函数形式，可以在Equation specification输入框中直接输入该变量的线性组合或函数形式，但变量的线性组合必须用小括号包裹。例如要回归模型InGDP=α+βInlFA+e,可以设定为In(gdp)c   ln(ifa), 该设定中 In(gdp)、In(ifa)表示变量gdp和ifa的对数序列，如图所示。

3. 选择模型估计方法

回归模型的估计中最为核心的就是根据设定模型的类别和假设选择合适的估计方法。估计方法的不同，回归的结果将会大相径庭。在EViews中模型回归估计的方法是通过Equation Estimation对话框中Estimation settings的Method下拉列表框进行选择的。Method下拉列表框提供了现代计量分析中几乎所有主流的模型估计方法，如图所示。

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