8.2、Mplus多水平因子分析—零基础入门教程

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Mplus多水平因子分析是一种在Mplus软件中使用的统计模型，用于分析多层次数据中的因子结构。该模型考虑了数据的层次结构，可以同时估计个体水平和群体水平的因子结构。通过Mplus的多水平因子分析，研究人员可以探索个体和群体之间的因子结构差异，并研究因子对个体和群体的影响。该模型适用于各种研究领域，如教育、组织行为和社会科学等。Mplus提供了丰富的功能和选项，可以对多水平因子分析进行参数估计、模型拟合和模型比较。此外，Mplus还提供了多种统计指标和图形展示，帮助研究人员解释和呈现多水平因子分析的结果。

Mplus多水平因子分析

一、多水平因子分析概述

因子分析是应用广泛的多变量(multivariate)统计技术，可以用于探索数据背后的模式、验证假设、数据降维等方面。因子分析可分为探索性因子分析(exploratory factor analysis)和验证性因子分析(confirmatory factor analysis)。 从形式上讲，如果多因子模型中，对特定因子载荷进行约束，如等于0或彼此相等，那么就是约束的或者验证性因子分析模型。

对于存在聚类效应的数据，单水平因子分析忽略嵌套结构。由于组群内部个体的相似性，传统因子分析因为观测值独立性假设被破坏，卡方检验统计量、因子载荷、标准误有偏，统计显著性检验失效，因子得分也会有偏。而且这种偏差随着ICC增加而增大 (Julian 2001;Dyer

et al, 2005; Preacher et al, 2010)。而且，因为嵌套数据破坏独立性假定，即使去除潜变量影响，量表题项也仍然相关，这会影响研究者对量表是否单维的判断(Dyer et al,2005)。 根据模拟研究(Julian,2001)的结论， 一般ICC大于0.05且组群规模相对较大时，应该考虑将因子分析纳入多水平框架。

按照Muthen(1989;1990)的定义方式，多水平验证性因子分析可以表达为：

个体层：

组群层：

复合模型：

其中，Y,代表第j个组群第i个个体的响应，v是总均值，A, 为组内因子载荷矩阵，Ag为

组间因子载荷矩阵，η,是组内随机变动的因子，7;是组间随机变动的因子，εw和εg分别

为组内和组间的独特因素。以Y; 代表组均值，Y代表个体与所在组群均值的偏差，那么每个个体的观测值可以分解为两部分：

依循 Cronbach(1976)的思路，响应向量Y,的总体总协方差矩阵，也可以分解为总体组间协方差矩阵∑和总体组内协方差矩阵∑,即：

分不同水平来看，即：

其中，和业；分别代表组内和组间的因子协方差矩阵。 Aw和A分别是组内和组间因子载荷协方差矩阵。⊙和⊙:分别是组内和组间残差协方差对角矩阵。

为了得到模型参数，需要对∑和Z进行估计。逻辑上，可以将样本数据也分解为组间变异和组内变异两个部分，其协方差结构为：

其中，

Muthen(1989;1990)证明，不能简单地用S和Sw作为∑和的估计。假定在J个平衡组群中，每个组群规模均为n, 总样本量即为N=nJ 。

定义两个样本协方差矩阵：

Spw,混合组内协方差矩阵(pooled   within   covariance   matrix);

S,调整的组间协方差矩阵 (scaled between covariance matrix)。

总体组内协方差矩阵 的无偏估计是Spw,可通过如下公式得到：

调整的组间协方差矩阵S,   可通过如下公式得到：

可以证明，Spw是的最大似然估计值，样本量为N-J;SB是的最大似然估计值，样本量为J,c等于组群规模n。 即：

由于不同的组群样本量不同，导致模型过于复杂。 Muthen(1989;1990)建议忽略非平衡，采取一个变通的方式，令：

单水平因子分析模型(single-level factor analysis)基于总体协方差矩阵(Sr)。Muthén(1994)证明，总体协方差矩阵是组内和组间因子结构的混合，当使用总体协方差矩阵进行因子分析时，组群水平因子结构以及因子载荷估计有偏。

忽略嵌套结构，基于样本组间协方差矩阵(between-group   covariance   matrix,Sg),采取聚合方式，在组群水平进行因子分析，如果进行自上而下的推论，与对嵌套数据使用聚合回归来解释个体层面问题一样，存在“层次谬误”。而且，从式8.32或式8.35来看，利用组均值的因子分析正是基于加权或未加权的组均值样本协方差矩阵，S; 或S正是用变量聚合所得组均值(并中心化)得到的。由于样本组间协方差矩阵(S)并非总体组间协方差矩阵(的无偏估计，其不仅是总体组间协方差矩阵的函数，同时也是加权的组群规模以及组内协方差矩阵( 的函数(见式8.37)(Muthen,1994) 。 也就是说包含了来自组内和组间的方差成分。此时如果采用聚合方式形成组群水平构念，假定组内协方差矩阵( 是误差或噪声方差(noise variance)的函数，结果会低估组间结构，因子载荷产出现保守性偏误(Dyer   et   al,2005)。这样的处理属于MMC方式，在组内样本数较少、ICC较小或者属于反映性(reflective)构念测量等情况下，存在缺乏信度等

问题。

二、多水平验证性因子分析

由于多水平因子分析模型比较复杂，经常迭代难以收敛，Muthen(1989;1994)建议采取五步法构建多水平因子分析模型：

●基于总体协方差矩阵(Sr)执行传统的CFA。 由于存在嵌套数据结构，这一步的参数估计和拟合统计量可能有偏，尤其是存在较大组内相关、组规模较大、变量高度相关、 组内因子结构和组间因子结构不同的情况下。

●组间变异估计。这一步要回答“多水平分析是否适合数据”的问题。可通过计算ICC来判断。如果所有题项的ICC都接近于0,就不必使用MCFA。这一步中，通常将组间协方差矩阵和组内协方差矩阵存为新的数据，供后续步骤使用。

●基于样本混合组内协方差矩阵(Spw)进行因子分析。 Spw通过减去所在组的均值排除了组间差异，只反映组内因子结构。如果总变异主要来源于组间，那么使用Spw的拟合可能不如基于Sr的因子分析。反之，如果总变异主要来源于组内，那么使用Spw的拟合相较基于S, 的因子分析可能会有所改善。

●基于样本组间协方差矩阵(SB)进行因子分析。这一步提供了有关组群水平因子结构的信息。实际中， ∑估计经常非正定，可通过对SB的估计反映∑的结构。

● 多水平验证性因子分析。基于上述步骤结果，进行多水平验证性因子分析，同时 对组内和组间进行分析。

不考虑理论意义和指标的可聚合性，以下我们用PISA数据中学生学习策略 (ST27Q01—13)作为多水平验证性因子分析示例。量表共13个题项，简单起见，这里选取其中的8个题项，见下表。量表测度1-4级，近似视为连续变量，数据已经将负向计分调整为正向计分。经计算，总体KMO=0.8941, 适合做因子分析。

各题项中， ST27Q01、ST27Q03、ST27Q05、ST27Q07与记忆(memorisation)有关； ST27Q04、ST27Q08、ST27Q10、ST27Q12与理解(elaboration)有关。这里针对水平-1,设定为双因子结构。 一般来讲，组群水平的因子往往呈现出聚合的现象，简化起见可采用单因子结构。其实际意义即：在学校层面，该量表视作对学生学习策略的整体测量。对于多水平因子分析而言， 一个重要的优势是根据理论，可以对不同水平设定差异性的因子结构，而不是强加等结构的假定。这在某些研究中，具有重要意义。

上图即根据上述假设制作的组内双因子、组间单因子的两水平验证性因子分析模型。组内模型由因子指向指标的箭头头部的圆点代表随机截距，对应于各指标在组间模型中相应的潜变量。

为了更好地理解上述说法，这里需要提醒的是，不要为Mplus代码中BY命令的形式所迷惑。虽然BY命令左侧是因子，右侧是指标，但实际上从测量模型来看，潜变量决定指标，路径图上看也就是代表因果关系的箭头是从潜变量指向指标。所以，实际上BY命令所表达的是某因子与相应指标之间的若干方程。表示因子载荷的箭头代表的是斜率。

在多水平随机截距模型中，组内方程的截距是随机变化的，在组间不同，也就是表现在水平-2的层次，方差存在于水平-2。因此，实际上，从MSEM的建模思路上来看，这些随机截 距其实就是相应水平-1指标的组间效应。它们可以作为组间因子的指标，受其作用。

第一步进行一个单水平的因子分析，Mplus代码见下框。

基于量表实际意义和探索性因子分析结果考虑，在个体层面，各题项测量了两个潜变量，可以区分出两个维度。在学校层面，可以考虑作为对学校学生学习策略整体性的测量，即一个因子。

第二步，存储组内和组间协方差矩阵，Mplus代码见下框。

代码中的SIGBETWEEN和SAMPLE是SAVEDATA命令的选项。其中SAMPLE在TYPE=TWOLEVEL的情况下，存储组内协方差矩阵；SIGBETWEEN存储组间协方差Zn矩阵。执行上述代码后，工作路径中新增了存储组内和组间协方差矩阵的数据文件。整理后结果见下表。

根据第二步模型，多数题项有一定程度的组内相关，不过个别题项很低(见上表)。可以理解，学习策略因为主要是反映个人特质，量表各题项聚类效应不是很突出。第三步，根据组内协方差矩阵进行组内因子分析，见下框。

组内模型的估计代码中，MEMOw和ELABw作为水平-1的因子，默认是相关的，因为它们属于外生变量。同时，默认设置各因子分别与各自第1个指标之间的载荷路径系数为1。因子的方差默认估计。

第三步模型反映的是组内特征。因子负荷略有差别，不过从某些指标来看，拟合相较于第一步模型并没有明显改善。

第四步，根据组间协方差矩阵进行组间因子分析，见下框。

第四步模型为组间模型。拟合情况较差，甚至出现Loglikelihood值异常、残差协方差矩阵非正定的情况，可能与变量ICC过小、组间协方差矩阵元素值较小，以及组群层面样本量较少有关。

本例中单因子(X²=1652.376,df=20)   和双因子(x²=1059.149,df=19)拟合结果存在差异。这里根据假设，组间仍采取单因子结构。

第五步，根据原始数据进行多水平因子分析，见下框。

第五步模型为使用联立方法估计的最终的多水平验证性因子分析，使用的是原始数据。注意，这里代码的语法符合MLC模型的规范。由于ST27Q01-ST27Q12各指标需要分解到不同水平，所以变量声明部分未指定属于哪一层面。WITHIN和BETWEEN分别构建相应测量模型(用BY表示),指标名称不加区分，但实际上分别对应组内和组间不同部分。另外要注意的是，组内和组间的潜变量名称上要区别开，表示不同水平的构念。 以上各步骤的相关输出结果进行整理后得到下表。

从策略上来讲，上述步骤实际上结合了分离法(segregating approaches)和联立法。上述各步估计方法均采用最大似然法(ML)。Mplus中对于利用组间协方差矩阵和组内协方差矩阵(术语称为 summary data)进行的估计(即第3、4步),只能使用ML、GLS和ULS方法，其他估计方法需要原始数据。

从相关指标来看，相对于单水平CFA,MCFA模型拟合较好。各因子负荷基本上也在0.5以上且显著。比较第3、4、5步所得结果可以看到，第3步组内因子分析结果与第5步组内部分结果十分接近，但第4步组间因子分析部分结果与第5步组间部分结果有较大差异。虽然由于考虑ICC、样本量、模型复杂性等多种因素后，两种方法究竟哪一个更有效存在争议，但一般来讲结果应该比较接近。根据相关研究(Yuan & Bentler,2007;   Schweig,2014),当模型较简单、ICC很低，同时组内样本量较小时，分离法相对更有效。 不过本例中，组间和组内样本规模均属于较高水平。

从拟合结果来看，多水平验证性因子分析(步骤5)整体优于不考虑嵌套结构的单水平因子分析(步骤1)。对于结果的评估，由于可以分别输出不同层面模型的拟合指标， 分离法在这方面有优势。从第3、4步输出的指标来看，组内模型拟合尚可，但组间模型拟合情况较差。根据第5模型拟合结果中的SRMR-Between 可以得到同样结论。另外， 比较步骤3、4和5相应模型输出结果可以看到，组内部分结果接近，但组间部分结果有较大差异。在既定模型设定下，原因应该主要在于数据自身。就本例而言，如果作为实际应用的话，需要考虑各指标ICC大小和组群层面变量之间的结构关系，重新评估对此数据使用多水平因子分析的必要性。从理论意义上来讲，实际上多水平因子分析更适用于 对参照点位于水平-2的构念，也就是具有共享性特征变量(Kozlowski & Klein,2000; Klein & Kozlowski,2000)、反映性变量(Lüdtke et al,2008)或者氛围变量(Marsh et al, 2012)进行分析。这类测量一般ICC较大，且组间模型也更有实质意义。显然本例中的构念参照点典型位于个体层面。

另外正如前面所指出的，实际上从Muthen(1990;1994)有关组间和组内协方差矩阵的定义式来看，尽管组间协方差矩阵估计经过校正，但本质上作为组间构念的各指标还是通过对观测指标聚合而成(同时进行了中心化处理),所以Marsh et al(2009)称之为潜- 显模型(latent-manifest model),也就是虽然是基于多指标的潜测量构建，但水平-2构念是通过显聚合(manifest aggregation)而成。相比之下，基于MLC的思路，水平-2构念的构建使用的是潜聚合(latent aggregation),方法上更具优势。不过MLC方法属于单指标测量， 对于带有多指标的MCFA或者一般MSEM的测量模型部分，各指标分解后，在测量模型中相对于因子而言处于响应变量的位置，已不属于协变量。"双潜多水平模型"概念避免 了上述问题，更准确、更一般性地刻画出MSEM建模思路的关键特征。

三、 多水平探索性因子分析

当对因子结构缺乏明确的事前假定或可供参考的相关文献时，可以考虑使用多水平探索性因子分析。

当数据存在嵌套结构时，单水平的探索性因子分析因为不能考虑到数据中存在的相关性，可能会导致对题项之间的相关或协方差高估，并导致因子得分有偏。而且，即使多水平因子分析，组群层因子结构和个体层因子结构也未必一致。因子分析需要注意到这种复杂性。

Mplus支持变量为连续变量、二分变量、有序或无序类别变量、截取变量、计数变量等多种类型的因子分析，不过具体估计方法需要根据具体情况进行选择。对于两水平探索性因子分析，如果是截取、无序类别或计数变量，目前尚不支持。

同样基于上述学生学习策略量表，进行多水平探索性因子分析。 Mplus代码见下框, 其中"ANALYSIS" 的“TYPE" 部分，“TWOLEVEL   EFA12   UW12   UB”代表的意思是，进行两水平探索性因子分析，组内、组间因子数均设定为3种情况：1个因子、2个因子和不约束。这样，可能的组合情况就是2³,也就是8种类型。

组内双因子-组间单因子的组合相应输出结果见下框。

综合各种组合输出模型的拟合指标来看，如果不计UNRESTRICTED的情况，相对而言，组内-组间双因子的组合拟合情况属于相对较好的类型，组内双因子-组间单因子的组合次之。具体结果详见下表。

四、多水平因子分析拓展

以下为几种常见的更复杂形式的多水平因子分析模型相应Mplus代码，包括：带有陡机斜率的多水平验证性因子分析、带协变量的多水平因子分析(MIMIC)和多水平多组因子分析。

(1)带有随机斜率的多水平验证性因子分析

以上MCFA模型示例均属于随机截距模型，实际上，Mplus中可以允许MCFA因子载荷随机变动。下框是带有随机斜率的MCFA示例。

在一般的测量模型中，默认设置第1个因子的载荷路径系数为1。上述多水平验证性因子分析带有随机斜率，为了令模型可识别，不能再采取固定路径系数法，只能采用固定方差法，所以出现了“MEMOw@1” 等代码。另外，由于存在随机斜率，模型复杂，这里采取的是贝叶斯估计方法。

(2)带协变量的多水平因子分析

在原 MCFA基础上，水平-1增加学生性别(girl)协变量，水平-2增加学校类型(sector)协变量。两个变量均属于所在层面专用变量，所以需要在VARIABLE部分指定所属层次。相应代码见下框。

(3)多水平多组因子分析

多水平多组(multi-group)因子分析，常用来分析等值型或不变性(invariance)   问题。

一个需要注意的问题是，在实际操作时，数据处理需要区别分组变量来自组内还是组间。

对于分组变量属组间水平，不同组群之间所有系数均独立的情况，方程式如下。

似然函数也是群各自似然函数加总。

对于分组变量属组内水平，较为复杂，式8.44不成立，方程8.42变为(Asparouhov &

Muthen,2012):

或：

因此，两种情况需要区别对待。下框是分组变量在组间的多水平多组因子分析示例。

在多组因子分析模型中，默认的是测量不变性，因子载荷和截距被设置为跨组相等。 如果需要释放该假设，需另外设定组特定(group-specified) 模型。

下框是分组变量在组内的多水平多组因子分析示例。其中，groupid的需要事先生成，如使用Stata进行预处理，命令为：egen groupid=group(girl schoolid),实际上就是以性别(0、1编码)和学校编号进行交叉分类。

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