6.1、Mplus当OLS遇到嵌套数据—零基础入门教程

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当使用Mplus进行OLS（普通最小二乘法）回归分析时，如果数据存在嵌套结构，即个体数据存在于群组或层次结构中，Mplus可以提供有效的分析方法。嵌套数据分析可以帮助研究人员探索个体和群组之间的关系，并考虑到群组之间的相关性。Mplus提供了多种嵌套数据分析模型，如多层线性回归模型和多层结构方程模型等。这些模型可以帮助研究人员估计个体和群组水平的回归系数，并提供有关群组之间差异的信息。通过Mplus的嵌套数据分析，研究人员可以更准确地理解个体和群组之间的关系，从而得出更可靠的研究结论。

Mplus当OLS遇到嵌套数据

回归是最基础也是应用最广泛的统计分析技术。通过回归模型，可以分析自变量解释因变量的影响是否具有统计学上的显著性，以及作用幅度的大小。以简单一元回归为例：

其中，Y,为因变量或被解释变量，X,为自变量或解释变量，β。为截距，β₁为斜率，8;为误差项。

推广到有h个自变量的情况，即为一般的多元回归。可用如下公式表示：

其中，Y,为因变量或被解释变量，Xa,…,X 为自变量或解释变量，β,为截距，β,…,β为 斜率或偏回归系数，ε;为误差项。

然而要注意的是，线性回归模型只有在满足一系列的假定的条件下，才能得到无偏有效的估计。 一般来讲，需要满足如下假定条件：

● 线性假定，某些非线性函数通过转换变为线性函数同样适用。

● 正交假定：①零条件均值，即E(μIXa,X₂,…,Xa)=0;② 误差项ε₁与X, 不相关， 即Cov(X,E;)=0。 另可推导，Cov(Y,s,)=0。

●独立同分布假定(i.i.d.)①任意两个误差项之间协方差为0,即 Cov(Bj,B;)=0,i≠j;②同方差性，对于所有的X 值，ε的方差σ²相同，即Var(e;)=Var(e;)=σ²。

● 正态分布假定，误差项ε是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即ε~ N(0,c²)。

若满足正交假定和独立同分布假定，最小二乘法得到的回归参数估计是所有估计中最佳线性无偏估计(best linear unbiased estimator)。此即所谓“高斯-马尔科夫定理”。

现实当中，我们需要面对不同的研究层次，研究对象嵌套在不同层次的单位之中。 比如我们研究学生成绩，学生来自不同的班级，这些班级又嵌套在不同的学校之中。研究企业来自不同的产业区，产业区又位于不同的城市。在进行重复测量的设计时，不同试点的测量嵌套于同一个个体之内(历时数据、增长模型),参数的估计嵌套于不同的研究(meta-analysis)。嵌套(nested)、聚类(cluster-correlated)、分层(hierarchical)、多水平(multilevel)等概念都是用来刻画这样一种数据结构特点。下图即属于这种情况，不同的学生嵌套于不同的学校，不同学生又分别测量了h 次，历次测量可以看作嵌套于学生个体。

实际上，在抽样调查时，由于可以大幅度节省成本，多阶段聚类抽样(multi-stage cluster sampling)十分常用，或者进行历时研究，在不同时点对不同的个体进行多次测量，都自然会形成嵌套数据结构。也就是说，嵌套数据结构在现实当中是非常普遍的。

使用一般的回归模型处理嵌套数据存在诸多局限。不同的研究对象由于嵌套于不同的时空单位，彼此之间更具相关性。比如来自同一家庭的兄弟姊妹，其相似性肯定比来自不同家庭的个体之间要高。这破坏了使用OLS 回归残差相互独立的假定。在不存在内生问题的情况下，虽然回归系数估计仍然无偏，但标准误的估计偏小，尤其对于组群层面变量，导致统计效力损失，因而所犯第一类错误的概率往往偏大。许多显著结果可能是值得怀疑的。而且，如果忽略嵌套结构，显然也未充分利用数据中包含的信息。

因果推论时，如果分析单位和推论单位属于不同的层次，用某一层数据分析，而在另外的层上得出结论，在方法论上，就会造成“生态谬误”(ecological fallacy)或“还原谬误”

(atomistic fallacy)的问题(Hox,2010)。

统计上，对于嵌套于不同组群内部的个体之间的相似性，可以使用所谓“组内相关系数”(intra-class correlation coefficient)来精确衡量。 ICC( 也以p表示)定义为组间方差占总方差的比例：

其中，σ:为组间方差(between-group     variance),σ² 为组内方差(within-group   variance),

σ+o²   为总方差(total   variance)。

组内同质即组间异质。因此，ICC既然反映组间变异，其实另一面就是组内个体相关。其取值理论上为0到1。如果出现负值，可能是由于模型上设定错误或组间方差接近于零所致。 ICC 趋近于0,表示没有组群效应，组内个体趋于相互独立。

如果ICC 很小，此时模型可使用一般回归模型进行估计，无需进行多水平模型分析。 否则，传统回归模型观测值独立假设被破坏，需进行多水平分析。不同研究领域ICC标   准差异很大。 Cohen(1977)   指出，ICC 小于0.059时，属于小的组内相关；介于0.059和0.138之间时，属于中等相关；高于0.138,属于高度组内相关。中等程度组内相关就不能忽略组内相似性的存在，因此ICC大于0.059时，就需要使用多水平模型进行分析。决定是否使用多水平分析，也要考虑设计效应(design effect)。deff=1+ (组群平均规模-1)×p，当设计效应大于2时，考虑进行多水平分析(Satorra   &   Muthen,1995)。

目前常见的多水平分析软件主要包括：

HLM、Mplus、MLwin 、SAS(PROC MIXED)、 Stata(xtmixd, gllamm)、SPSS(MIXED)、R(multilevel,nlme)等。对于嵌套数据的处理，在这些软件中，Mplus的优势在于可以允许因变量是连续变量、二分变量、有序或无序类别变量、截取变量、计数变量等多种类型，而且还可以与路径分析、结构方程模型、因子分析、潜类分析等相结合，将这些模型置于多水平的框架之下。

需要注意的是，不同的软件所使用的多水平数据结构组织上有区别。 HLM要求分别输入个体水平和组群水平的数据集，而Mplus、SAS、SPSS、R、MLwin 等软件则要求输入混合数据集。

我们看一个实例。 PISA(Programme for International Student Assessment)是经合组织(OECD)1997年开始的一项国际调查，每三年一次，在世界范围内通过对15岁青少年阅读、 数学和科学的测验评估教育系统状况。目前有70个国家和经济体参与了PISA项目。

更多信息可参阅官方网站。后续分析以美国2009年数据[1]为例，涉及的主要变量如下：

●水平-1文件(INT   STQ09   DEC11.sav):

HISEI,父母最高的社会境地地位指数(SEI);

FEMALE(STO4Q01),学生性别(1=男生，0=女生);

PV1MATH,数学成绩似真值(plausible   value);

PV1READ,阅读成绩似真值；

PV1SCIE,科学成绩似真值；

● 水平-2文件 (INT   SCQ09   Dec11.sav):

SECTOR(SCO2G01), 学校类型(1=私立，0=公立);

SCHSIZE, 学生规模； PROPQUAL,   有教师证的教师比例。

该数据属于嵌套数据。其中，下图分别为学生个体层面和学校层面的数据，而下图显示的是学生个体层面和学校层面的混合数据。

一般来讲，原始数据格式不同层面都是分开的，在使用Mplus软件进行多水平分析之前，需要进行合并。在Stata、SPSS等具有数据管理功能的统计软件中，使用合并(merge)过程可以很容易实现。对于上述数据，由于学生数据中有其所属学校的编号(shoolid), 可以此为索引变量，将学校数据合并进来，形成混合数据。

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