2.2、Mplus包含结局变量的RMM—零基础入门教程

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Mplus中的结局变量的随机效应混合模型（RMM）是一种统计方法，用于在潜在类别分析中引入结局变量。它可以帮助研究者探索潜在类别模型中结局变量对类别分布和类别特征的影响。例如，假设研究者想要了解消费者的购买行为潜在类别模型中收入对类别分布和类别特征的影响，他们可以使用Mplus中的RMM来引入收入作为结局变量，并分析其与类别分布和类别特征之间的关系。通过分析观察数据和结局变量，Mplus可以计算出结局变量对类别分布和类别特征的影响程度，并提供相应的统计结果。研究者可以进一步了解结局变量在潜在类别模型中的作用，从而更好地理解和解释消费者的购买行为。

Mplus包含结局变量的RMM

一、结局变量是连续变量

(1)单步法

结局变量是连续变量时，可以将结局变量当作LCA模型的指标，同时完成模型估计。 当局部独立性满足时，LCA 表达式如下：

当纳入连续的协变量Z后，上式改写为联合的形式：

f(Z;IX=t)为协变量Z在特定类别内的分布，连续变量时为正态分布，如果存在多个连续变量则为多元正态分布。

单步法需要满足重要的前提：连续结局变量在各类别内正态分布。如果正态假设不成立则会改变测量模型的结构及意义，例如高估类别数(Bauer   &   Curran,2003)。另外， 如果存在多个连续结局变量则更加复杂。假如采用每次只纳入一个结局变量的建模策略，则会产生LCA模型混淆的问题：纳入不同结局变量间的LCA模型是不同的。

(2)LTB法

Lanza,   Tan   &   Bray(2013) 最近提出了一 种新的方法可以避免单步法违反假设时结果不准确的问题，因为这种方法并没有特定的分布假设。

在LTB法中，首先将结局变量Z作为协变量纳入LCA分析(过程同包含预测变量的单步法)。

第二步计算结局变量在每个类别内的均值(连续变量)或概率(类别变量):

协变量Z在特定类别内的分布f(ZIX=t)可通过贝叶斯定理获得：

其中的P(X=tIZ)和P(X=t)是条件概率和类别概率，由第一步获得。式中f(Z)未知，Asparouhov和Muthen(2014) 建议使用Z的实证分布代替：

Lanza,Tan    &    Bray(2013) 并没有给出μ,的标准误公式，   Asparouhov和 Muthén(2014)建议使用类别特定的方差的均方根除以类别特定的样本量获得，但模拟研究发现这种做法会低估标准误(Bakk   &Vermunt,2016)。 随后，Bakk,Oberski& Vermunt(2016) 提出了Jackknife 和Bootstrap 再抽样的标准误。

当连续结局变量的方差在不同类别内相等时即同方差(homoskedastic),LTB法的估计结果是无偏的，此时结局变量与潜类别变量之间呈 linear-logistic关系。如果同方差不成立即异方差(heteroskedastic)   时，LTB   法估计类别特定的均值存在偏差(Bakk   & Vermunt,2016) 。 另外，LTB 方法处理多个连续结局变量时存在困难，如果采用分别建模的方式将面临与单步法同样的困境。

(3)修正的LTB法

针对LTB法的不足，Bakk,Oberski    &Vermunt(2016) 结合稳健三步法的分析思想对LTB法进行了修正，并将其分成三步实现，因此这种方法与稳健三步法分析过程非常相似。

首先，使用测量指标建立LCA, 同时根据后验概率将个体分到不同的潜类别组N。

第二步，考虑分类误差的前提下通过N估计潜类别变量C, 同时将结局变量Z作为协变量纳入分析(稳健三步法并未纳入协变量),见下公式。

上式中的P(N,=sIC=t)被固定为上一步估计的N。

当连续结局变量的方差在不同类别内不相等时(类别内异方差),LTB法的估计结果是有偏的。针对此问题，Bakk,Oberski & Vermunt(2016)提出在多项式logistic回归模型中加入二次项(下面公式)来解决估计偏差的问题。

修正的三步LTB法才刚刚提出，还需要更多方法学研究，当然尚未有实际应用的文章发表。

(4)修正BCH法

如前所述，BCH法提出之初仅用于分析包含分类预测变量的LCA, 后来Vermunt (2010)对其进行了修正，使其可以处理各种类型的变量。在Mplus里，使用BCH分析包含结局变量RMM时非常方便，只需一步即可实现，例句见下框。

(5)稳健三步法

稳健三步法也可以用于处理结局变量是连续变量的RMM。包含连续结局变量的LCA 模型表达式变为：

P(N=sIC=t)被固定为第二步估计的分类精确性参数，f(Z,IC=t) 通常服从正态分布。如前所述，结局变量是连续变量的RMM 的目的在于估计结局变量在潜类别不同水平上的均值差异，但结局变量的方差在不同类别组内可能相等也可能存在差异(类似方差分析时的组内方差同质假设)。针对方差的不同情况，稳健三步法有两种不同的变式： 类别组内方差同质和类别组内方差异质。

(6)几种方法的比较

模拟研究发现(Bakk et al,2013;Lanza et al,2013),当满足假设条件时,稳健三步法，BCH和LTB均可以得到无偏的参数估计结果(即类别特定的结局变量的均值)。

然而，当条件不成立时(非正态、方差不同质),稳健三步法和LTB表现较差，而BCH法则表现得很稳健(Bakk & Vermunt,2016)。Asparouhov和Muthen(2015; webnote 21)通过模拟进一步比较了稳健三步法的两种变式(即类别等方差和类别不等方差，分别对应Mplus中的DE3STEP和DU3STEP),LTB法，单步法，PC法和BCH法在连续结局变量非正态(双峰分布)时的表现，结果进一步证实了BCH的稳健性(其他方法表现均不佳)。

尽管如此，当类别距离或分类精确性较小时(比如entropy=0.5),BCH也会低估标准误。 他们的结果还发现，当组内方差同质性不成立时，方差不等的稳健三步法(DU3STEP)和BCH法表现最佳，且前者更优。

二、 结局变量是类别变量

LTB法在处理分类结局变量时表现较好，不会像分析连续结局变量时出现违反正态和方差同质假设后的估计偏差问题。在Asparouhov & Muthén(2014)的模拟研究中，检验了3个样本量(N=200,500 和2000)和2种分类精确性(entropy=0.5 和0.65)下LTB的表现，结果发现仅在N=200和entropy=0.5时才会出现明显的偏差。

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